Question

如图，过抛物线x²=4y的对称轴上任一点P（0，m）（m＞0）作直线与抛物线交于A，B两点，点Q是点P关于原点的对称点．
（I）设点P分有向线段

AB

所成的比为λ，证明：

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)
（Ⅱ）设直线AB的方程是x-2y+12=0，过A，B两点的圆C与抛物线在点A处有共同的切线，求圆C的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），x₁x₂=-4m．由点P（0，m）分有向线段

AB

所成的比为λ，得

x1+λx2

1+λ

=0，即λ=-

x1

x2

．由此可以推出

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（Ⅱ）由

x-2y+12=0 x2=4y

得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）．设圆C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，则

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.

解得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

．所以圆C的方程是x²+y²+3x-23y+72=0．

解答：解：（Ⅰ）依题意，可设直线AB的方程为y=kx+m，代入抛物线方程x²=4y得x²-4kx-4m=0．①
设A、B两点的坐标分别是（x₁，y₁）、（x₂，y₂），则x₁、x₂是方程①的两根．
所以x₁x₂=-4m．
由点P（0，m）分有向线段

AB

所成的比为λ，
得

x1+λx2

1+λ

=0，即λ=-

x1

x2

．
又点Q是点P关于原点的对称点，
故点Q的坐标是（0，-m），从而

QP

=(0，2m).

QA

-λ

QB

=(x1，y1+m)-λ(x2，y2+m)=(x1-λx2，y1-λy2+(1-λ)m)．

QP

•(

QA

-λ

QB

)=2m[y1-λy2+(1-λ)m]=2m[

x 2 1

4

+

x1

x2

•

x 2 2

4

+(1+

x1

x2

)m]=2m(x1+x2)•

x1x2+4m

4x2

=2m(x1+x2)•

-4m+4m

4x2

=0．
所以

QP

⊥(

QA

-λ

QB

)．
（Ⅱ）由

x-2y+12=0 x2=4y

得点A、B的坐标分别是（6，9）、（-4，4）．
由x²=y得y=

1

4

x2，y′=

1

2

x，
所以抛物线x²=4y在点A处切线的斜率为y'|_x=6=3
设圆C的方程是（x-a）²+（y-b）²=r²，
则

b-9 a-b =- 1 3 (a-6)2+(b-9)2=(a+4)2+(b-4)2.

解之得a=-

3

2

，b=

23

2

，r2=(a+4)2+(b-4)2=

125

2

．
所以圆C的方程是(x+

3

2

)2+(y-

23

2

) 2=

125

2

，
即x²+y²+3x-23y+72=0．

点评：本题考查直线和圆锥曲线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．