Question

已知函数f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

．
（Ⅰ）写出函数f（x）的图象的顶点坐标及其单调递增、递减区间；
（Ⅱ）若函数的定义域和值域都是[1，a]（a＞1），求a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接对函数进行配方即可得到丁点坐标，再根据开口向上的二次函数在对称轴左边递减右边递增即可得到其单调区间；
（Ⅱ）根据其对称轴为X=1，可得函数在[1，a]上递增，进而得到其最大值在X=a处取得，得到关于a的等式即可求出a的值．

解答：解：（Ⅰ）∵f(x)=

1

2

x2-x+

3

2

=

1

2

（x-1）²+1；
∴顶点坐标：（1，1）
又开口向上；所以在[1，+∞）上递增；在（-∞，1]上递减．
（Ⅱ）∵其对称轴为X=1，
∴函数在[1，a]上递增；
∴当x=1时有最小值1，当x=a时有最大值a．
∴

1

2

a²-a+

3

2

=a⇒a²-4a-3=0⇒a=3或a=1（舍）．
∴a=3．

点评：本题主要考察二次函数在闭区间上的最值问题．求二次函数在闭区间上的最值时，一定要注意讨论对称轴和区间的位置关系，避免出错．