Question

【题目】已知函数.

若在其定义域上单调递减，求的取值范围；

若存在两个不同极值点与，且，求证.

Answer 1

【答案】（1）（2）见解析

【解析】

先对函数求导，由在其定义域上单调递减，得到恒成立，即恒成立，用导数的方法求出的最小值即可；

（2）若存在两个不同极值点与，且，欲证：，只需证：，即证，再根据，得到，，再令，得到，设，由导数方法研究其单调性即可得出结论.

解：（1）由于的定义域为，且，若在其定义域上单调递减，则恒成立，即恒成立.

令，

则随着的变化，与的变化如下表所示

	-	0	+
	↘	极小值	↗

所以.

所以

（2）若存在两个不同极值点与，且，

欲证：.

只需证：.

只需证：.

只需证：.

因为，，，，

所以，

所以

令，则，则，

设，则，

可知函数在上单调递增

所以 .

所以成立.