Question

已知3，5，21是各项均为整数的无穷等差数列{a_n}的三项，若数列{a_n}的首项为a₁，公差为d，给出关于数列{a_n}的4个命题：1满足条件的d有8个不同的取值；2存在满足条件的数列{a_n}，使得对任意的n∈N^*，都有S_2n=4S_n成立；3对任意满足条件的d，存在a₁，使得99一定是数列{a_n}中的一项；4对任意满足条件的d，存在a₁，使得30一定是数列{a_n}中的一项；则其中所有正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：由题意得，公差d可能为1，2，-1，-2，共4个不同的值，故1不正确．根据4个不同公差，分别求出S_2n和
S_n的值，经检验2不正确．根据4个不同公差，分别求出首项a₁，经检验3、4正确．

解答：解：∵3，5，21是各项均为整数的无穷等差数列{a_n}的三项，
∴公差d 可能为1，2，-1，-2，共4个不同的值，故1不正确．
当d=1时，s_n=na₁+

n(n-1)

2

，s_2n=2na₁+

2n(2n-1)

2

，S_2n=4S_n 不成立，
同理，当d=-1时，S_2n=4S_n不成立．
当d=2时，s_n=na₁+n（n-1），s_2n=2na₁+2n（2n-1），S_2n=4S_n 不成立，
同理，当 当d=-2时，S_2n=4S_n 不成立，故 2不正确．
当d=1时，通项公式为 a_n=a₁+（n-1），令99=a₁+（n-1），a₁=100-n．
同理当d=-1时，通项公式为 a_n=a₁-（n-1），令99=a₁-（n-1），a₁=98+n．
当d=2时，通项公式为  为 a_n=a₁+2（n-1），令99=a₁+2（n-1），a₁=101-2n．
当d=-2时，通项公式为  为 a_n=a₁-2（n-1），令99=a₁-2（n-1），a₁=97+2n，故3正确．
当d=1时，通项公式为 a_n=a₁+（n-1），令30=a₁+（n-1），a₁=31-n．
同理当d=-1时，通项公式为 a_n=a₁-（n-1），令30=a₁-（n-1），a₁=29+n．
当d=2时，通项公式为  为 a_n=a₁+2（n-1），令30=a₁+2（n-1），a₁=32-2n．
当d=-2时，通项公式为  为 a_n=a₁-2（n-1），令30=a₁-2（n-1），a₁=28+2n，故4正确．
故答案为 3、4．

点评：本题考查等差数列的通项公式及前n项和公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，求出首项是解题的关键，
属于中档题．