Question

已知f（x）是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意的a、b∈R，满足  f（ab）=af（b）+bf（a），f（2）=2，令an=

f(2n)

2n

(n∈N*)则数列{an}的通项公式为（　　）

A．an=2n+1-3，(n∈N*)

B．an=2n，(n∈N*)

C．an=2n-1，(n∈N*)

D．an=n，(n∈N*)

Answer 1

分析：对抽象函数赋值，令a=2，b=2^n-1，可得数列{a_n}为等差数列，进而可得a₁，可得通项公式．

解答：解：令a=2，b=2^n-1，代入原式可得：
f（2ⁿ）=f（2•2^n-1）=2f（2^n-1）+2^n-1f（2），而f（2）=2
故上式可化为f（2ⁿ）=2f（2^n-1）+2ⁿ，
∴an=

f(2n)

2n

=

2f(2n-1)+2n

2n

=

f(2n-1)

2n-1

+1，
即a_n=a_n-1+1，而a1=

f(2)

2

=1，
所以数列{a_n}是以1为首项，1为公差的等差数列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n
故选D

点评：本题考查等差数列的定义，涉及抽象函数的应用，属基础题．