Question

【题目】已知函数f（x）=x2+（a+2）x+5+a，a∈R．
（Ⅰ）若方程f（x）=0有一正根和一个负根，求a的取值范围；
（Ⅱ）当x＞﹣1时，不等式f（x）≥0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）设方程x2+（a+2）x+5+a=0有一正根和一个负根，
则 ，
解得a＜﹣5
故答案为a＜﹣5
（Ⅱ）当x＞﹣1时，不等式x2+（a+2）x+5+a≥0恒成立，
即a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，因为x＞﹣1，所以x+1＞0， ，
而 ，当且仅当x=1时等号成立，
所以a≥﹣4．
故答案为a≥﹣4
【解析】（I）函数的两根一正一负可以用△＞0和两根之积＜0判断解决（II）当x＞﹣1时，不等式f（x）≥0恒成立，就是a（x+1）≥﹣x2﹣2x﹣5，由x＞﹣1得x+1＞0，整理不等式求解即可