Question

已知椭圆E的焦点在x轴上，长轴长为4，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）已知点A（0，1）和直线l：y=x+m，线段AB是椭圆E的一条弦且直线l垂直平分弦AB，求实数m的值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）根据已知可求出椭圆中的a，b的值，再根据椭圆的焦点在x轴上，就可得到椭圆方程．
（Ⅱ）根据直线AB与直线l：y=x+m垂直，可得直线AB的斜率，结合A点坐标就可求出直线AB的方程，代入椭圆方程，化简，利用韦达定理求出AB的中点坐标，代入直线l的方程，就可求出m的值．
解答：解：（Ⅰ）∵椭圆E的长轴长为4，∴a=2，离心率为．
∴，c=，∴b=1
∵椭圆E的焦点在x轴上，
∴椭圆E的标准方程为；
（Ⅱ）由条件可得直线AB的方程为y=-x+1．于是，有，．
设弦AB的中点为M，则由中点坐标公式得，，由此及点M在直线l得．
点评：本题主要考查了椭圆的性质，标准方程，以及直线与椭圆相交问题中韦达定理的应用．