Question

.函数f（x）=

x2-x4

|x-2|-2

．给出函数f（x）下列性质：（1）f（x）的定义域和值域均为[-1，1]；（2）f（x）是奇函数；（3）函数在定义域上单调递增；（4）函数f（x）有两零点；（5）A、B为函数f（x）图象上任意不同两点，则

2

＜|AB|≤2．则函数f（x）有关性质中正确描述的个数是（　　）

A．1

B．2

C．3

D．4

Answer 1

分析：求出函数的定义域，化简函数的解析式，作出函数图象，根据函数的图象判断所给性质的正误．

解答：解：∵

x2-x4≥0 |x-2|-2≠0

∴函数定义域为

x|

-1≤x＜0或0＜x≤1，}
∴f(x)=

x2(1-x2)

-(x-2)-2

=

|x| 1-x2

-x

=

- 1-x2         0＜x≤1 1-x2           -1≤x＜0

作出函数图象，如图所示
由图象可知函数定义域为[-1，0）∪（0，1]，值域为（-1，1）故（1）不正确；
∵函数定义域关于原点对称且
f(-x)=

|-x| 1-(-x)2

-(-x)

=

|x| 1-x2

x

=-f(x)
∴函数f（x）为奇函数，故（2）正确；
由图象可知函数在[-1，0）上为单调增函数，在（0，1]上也是单调增函数，但在定义域上不是增函数，如-1＜1，但f（-1）＞f（1）．故（3）不正确；
由图象可知函数的零点为x=-1，x=1，故（4）正确；
由图象可知图象为两个四分之一个圆弧构成，且半径为1，最大为AB连线过原点时最大为2，最小为

2

，但取不到．
故（5）正确．
故选C．

点评：本题主要考查了函数的性质、函数的图象，并利用函数的图象研究函数的性质，体现了数形结合在数学解题中的应用．