Question

4．已知函数f（x）=2ax²+2x-3．
（1）当a=1时，判断函数f（x）在区间（0，1）内是否有零点；
（2）若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用零点存在定理进行判断即可；
（2）分类讨论，分离参数，即可求实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=2x²+2x-3，
∴f（0）=-3，f（1）=1，
∴函数f（x）在区间（0，1）内有零点；
（2）①a=0时，f（x）=2x-3=0时，x=$\frac{3}{2}$．不符合．
②a≠0时，在区间（0，1）内有零点，则f（x）=2ax²+2x-3=0，有：2a=3$（\frac{1}{x}-\frac{1}{3}）^{2}$-$\frac{1}{3}$＞1
∴a＞$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查零点存在定理，考查分类讨论的数学思想，分离参数的方法，属于中档题．