Question

【题目】如图，在边长为4的菱形中， ，点、分别在边、上．点与点、不重合， ， ，沿将翻折到的位置，使平面平面．

（Ⅰ）求证： 平面；

（Ⅱ）记三棱锥的体积为，四棱锥的体积为，且，求此时线段的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）.

【解析】试题分析：

（1）根据EF⊥AC得PO⊥EF，由平面PEF⊥平面ABEFD结合面面垂直的性质定理，证出PO⊥平面ABEFD，从而得到PO⊥BD．由此结合AO⊥BD，利用线面垂直判定定理即可证出BD⊥平面POA；

（2）由PO⊥平面ABEFD，得PO是三棱锥P﹣ABD和四棱锥P﹣BDEF的高，因此将 化简可得S△ABD= S四边形BDEF，从而得到S△CEF= S△BCD．最后根据△CEF∽△CDB，利用面积比等于相似比的平方，结合菱形ABCD中有关数据即可算出此时线段PO的长等于 ．

(Ⅰ)证明：在菱形中，∵，∴． ∵，∴，

∵平面⊥平面，平面平面 ，且平面，

∴平面， ∵平面，∴．

∵，∴平面．

（Ⅱ）设．由(Ⅰ)知， 平面，

∴为三棱锥及四棱锥的高，

∴，∵，

∴，∴，

∵，

∴，∴∽． ∴，

∴， ∴．