Question

【题目】设f（x）=（lnx）ln（1﹣x）．
（1）求函数y=f（x）的图象在（ ，f（ ））处的切线方程；
（2）求函数y=f′（x）的零点．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）= ，

故f（ ）=ln2 ，f′（ ）=0，

故切线方程是：y=ln2

（2）解：由（1）得，令f′（x）=0，即（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx=0，

令h（x）=（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx，（0＜x＜1），

则h′（x）=lnx（1﹣x），h″（x）= ，

令h″（x）＞0，解得：0＜x＜ ，

令h″（x）＜0，解得：x＞ ，

故h′（x）在（0， ）递增，在（ ，+∞）递减，

故h′（x）＜h′（ ）=ln ＜0，

故h（x）在（0，1）递减，

而h（ ）=0，

故h（x）在（0，1）的零点是x= ．

【解析】（1）求出函数的导数，计算f（ ），f′（ ），求出切线方程即可；（2）令f′（x）=0，即（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx=0，令h（x）=（1﹣x）ln（1﹣x）﹣xlnx，（0＜x＜1），根据函数的单调性求出函数的零点即可．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．