Question

19．设有一条光线从P（-2，4$\sqrt{3}$）射出，并且经x轴上一点Q（2，0）反射
（Ⅰ）求入射光线和反射光线所在的直线方程（分别记为l₁，l₂）
（Ⅱ）设动直线l：x=my-2$\sqrt{3}$，当点M（0，-6）到l的距离最大时，求l，l₁，l₂所围成的三角形的内切圆（即：圆心在三角形内，并且与三角形的三边相切的圆）的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出直线斜率，即可求入射光线和反射光线所在的直线方程；
（Ⅱ）l⊥MN时，M到l的距离最大，求出l的方程，再求出圆心与半径，即可求出圆的方程．

解答 解：（Ⅰ）∵k_PQ=-$\sqrt{3}$，∴l₁：y=-$\sqrt{3}$（x-2），
∵l₁，l₂关于x轴对称，
∴l₂：y=$\sqrt{3}$（x-2）；
（Ⅱ）设M到直线l的距离为MH，
∵l恒过点N（-2$\sqrt{3}$，0），∴MH=$\sqrt{48-N{H}^{2}}$，
∴NH=0时，MH最大，即l⊥MN时，M到l的距离最大，
∵k_MN=-$\sqrt{3}$，∴m=$\sqrt{3}$，
∴l的方程为x=$\sqrt{3}$y-2$\sqrt{3}$，
设所求方程为（x-2）²+（y-t）²=r²，∴r=$\frac{|t|}{2}$=$\frac{|\sqrt{3}t-2\sqrt{3}-2|}{2}$，∴t=2（另一根舍去），
∴所求方程为（x-2）²+（y-2）²=1．

点评 本题考查直线与圆的方程，考查点到直线距离公式的运用，属于中档题．