Question

理科（本小题14分）已知函数，当时，函数取得极大值.

（Ⅰ）求实数的值；（Ⅱ）已知结论：若函数在区间内导数都存在，且，则存在，使得.试用这个结论证明：若，函数，则对任意，都有；（Ⅲ）已知正数满足求证：当，时，对任意大于，且互不相等的实数,都有

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；（Ⅲ）用数学归纳法证明.

【解析】

试题分析：（Ⅰ）. 由，得，此时.

当时，，函数在区间上单调递增；

当时，，函数在区间上单调递减.

函数在处取得极大值，故.   3分

（Ⅱ）令，  4分

则.函数在上可导，存在，使得.

又

当时，，单调递增，；

当时，，单调递减，；

故对任意，都有.   8分

（Ⅲ）用数学归纳法证明.

①当时，，且，，

，由（Ⅱ）得，即

，

当时，结论成立.   9分

②假设当时结论成立，即当时，

. 当时，设正数满足令，

 

则，且.

13分

当时，结论也成立.

综上由①②，对任意，，结论恒成立.   14分

考点：本题主要考查导数的几何意义，应用导数研究函数的单调性、最值及不等式的证明，数学归纳法。

点评：难题，利用导数研究函数的单调性、极值、最值，是导数的应用中的基本问题。本题（III）应用数学归纳法证明不等式，难度较大。涉及对数函数，要特别注意函数的定义域。