Question

已知函数f（x）=2sin（ωx+Φ）（ω＞0），如果存在实数x₁，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2011）成立，则ω的最小值为

 

．

Answer 1

考点：正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：根据条件f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2011）成立得到函数的最大值和最小值，结合三角函数的周期的性质建立不等式关系即可得到结论．

解答： 解：若存在实数x₁，使得对任意的实数x，都有f（x₁）≤f（x）≤f（x₁+2011）成立，
则f（x₁）为函数的最小值，f（x₁+2011）为函数的最大值，
则x₁+2011-x₁=n

T

2

=2011，
∵T=

2π

ω

，
∴

1

2

•

2π

ω

=

2011

n

，
即ω=

2nπ

2011

×

1

2

=

nπ

2011

，
∵n∈N^•，
∴当n=1时，ω=

π

2011

为最小值，
故答案为：

π

2011

点评：本题主要考查三角函数的图象和性质，根据函数的最值以及三角函数的周期公式是解决本题的关键．