Question

已知函数f（x）=|x²-4x+3|
（1）求函数f（x）的单调区间，并指出其增减性；
（2）关于x的方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根，求实数a的取值范围．
（3）若：h（x）=|4x-x²|+a有4个零点，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）作出函数f（x）=|x²-4x+3|的图象，由图象直接得到单调区间；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，把方程根的问题转化为两个函数图象的交点问题，数形结合即可得到答案；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4个零点，即方程|4x-x²|+a=0有4个根，即方程|4x-x²|=-a有4个根，作出函数g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，数形结合即可得到答案．

解答：解：（1）函数f（x）的图象如图，

由图象可知函数f（x）的减区间为（-∞，1]，（2，3]；
函数f（x）的增区间为（1，2]，（3，+∞）；
（2）由f（x）-a=x，得f（x）=x+a，
联立

y=x+a y=-x2+4x-3

，得x²-3x+a+3=0，
由△=（-3）²-4（a+3）=0，得a=-

3

4

．
所以方程f（x）-a=x至少有三个不相等的实数根的实数a的取值范围是（-1，-

3

4

）；
（3）若h（x）=|4x-x²|+a有4个零点，即方程|4x-x²|+a=0有4个根，
即方程|4x-x²|=-a有4个根．
令g（x）=|4x-x²|，t（x）=-a，作出g（x）的图象如图，

由图象可知要使方程|4x-x²|=-a有4个根，则g（x）与t（x）的图象应有4个交点，
∴0＜-a＜4，即-4＜a＜0，
∴a的取值范围是（-4，0）．

点评：本题考查了函数的单调性，考查了函数的零点与方程的根的关系，考查了数学转化和数形结合的解题思想方法，属中档题．