Question

已知抛物线x²=8y的焦点为F，A、B是抛物线上的两动点，且

AF

=λ

FB

（λ＞0），
过A、B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M．
（1）证明线段FM被x轴平分；
（2）计算

FM

•

AB

的值；
（3）求证：

AM

⊥

BM

．

Answer 1

分析：（1）设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由曲线8y=x²上任意一点斜率为y'=

x

4

，由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2与抛物线方程x²=8y联立消y，从而得解；
（2）先求得

FM

和

AB

，进而可求得

FM

•

AB

的结果为0，
（3）先求得∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)，∵

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)，从而可解．

解答：解：（1）设A(x1，

x 2 1

8

)，B(x2，

x 2 2

8

)，由曲线8y=x²上任意一点斜率为y'=

x

4

，
直线AM的方程为：y-

x 2 1

8

=

x1

4

(x-x1)
直线BM的方程为：y-

x 2 2

8

=

x2

4

(x-x2)                   
解方程组得x=

x1+x2

2

，y=

x1x2

8

  即M(

x1+x2

2

，

x1x2

8

)
由已知，A，B，F三点共线，设直线AB的方程为：y=kx+2
与抛物线方程x²=8y联立消y可得：x²-8kx-16=0，∴x₁+x₂=8k，x₁x₂=-16
所以M点的纵坐标为-2，，所以线段FM中点的纵坐标为0
即线段FM被x轴平分．                                   
（2）

FM

=(4k，-4)，

AB

=(x2-x1，

x 2 2 -  x 2 1

8

)，
∴

FM

•

AB

=4k(x2-x1)-

x 2 2 - x 1 2

2

=(x2-x1)(4k-

x   2 + x   1

2

)
由（1）x₁+x₂=8k，代入得

FM

•

AB

=0
（3）∵

AM

=(

x2-x1

2

，-2-

x 2 1

8

)，∵

BM

=(

x1-x2

2

，-2-

x 2 2

8

)，
∴

AM

•

BM

=

x1x2

2

+4+

x 2 1 x 2 2

64

=-8+4+4=0
∴

AM

⊥

BM

点评：本题主要考查了抛物线的应用．抛物线与直线的关系和抛物线的性质等都是近几年高考的热点，故应重点掌握．