Question

已知动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离
（1）求点M的轨迹方程
（2）经过点F，倾斜角为30°的直线m交M的轨迹于A、B两点，求|AB|
（3）设过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），O为坐标原点．证明：OC⊥OD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根据动点M（x，y）到定点F（0，1）的距离等于它到定直线l：y+1=0的距离，建立方程，化简即可得到点M的轨迹方程；
（2）求出过点F，倾斜角为30°的直线m，与（1）中轨迹方程联立，求出A，B的坐标，再求|AB|；
（3）设出方程，与（1）中轨迹方程联立，再求出OC，OD的斜率，证明其乘积为-1即可．
解答：（1）解：点M到点F的距离是|MF|=，点M到直线y+1=0的距离是d=|y+1|
根据题意，得x²+（y-1）²=（y+1）²
x²+y²-2y+1=y²+2y+1
即
∴点M的轨迹方程是；
（2）解：∵倾斜角为30°，∴直线m的斜率为
∵F（0，1），∴直线m的方程为：
与抛物线方程联立
消去y可得，
∴x₁=或
∴y₁=3或
∴
∴=
（3）证明：过G（0，4）的直线为 y=kx+4
代入抛物线方程，得=kx+4
即x²-4kx-16=0
∵过点G（0，4）的直线n交M的轨迹于C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），
∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=-16
∵OC 的斜率是，OD的斜率是
∴=
∴OC⊥OD
点评：本题重点考查轨迹方程的求解，考查直线与抛物线的位置关系，解题时要认真审题，熟练掌握抛物线的性质，合理地进行等价转化．