Question

5．在△ABC中，已知sinA=2sinB•cosC，且（a+b+c）（b+c-a）=3bc，则△ABC为（　　）

• A． 等边三角形
• B． 钝角三角形
• C． 直角三角形
• D． 等腰直角三角形

Answer 1

分析 第一个等式变形后，利用余弦定理求出cosA的值，进而求出A的度数，第二个等式化简，利用两角和与差的正弦函数公式变形，得到B=C，即确定出三角形形状．

解答 解：将（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
整理得：（b+c）²-a²=3bc，即a²=b²+c²-bc，
由余弦定理得：cosA=$\frac{1}{2}$，
∵A为三角形内角，
∴A=$\frac{π}{3}$，
∵sinA=2sinBcosC，且sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC，
∴sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
∴B-C=0，即B=C，
∵B+C=$\frac{2π}{3}$，
∴A=B=C=$\frac{π}{3}$，
则△ABC为等边三角形．
故选：A．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，两角和与差的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键，属于中档题．