Question

已知：如图，AB是圆C：x²+y²+4x-12y+24=0的弦，且过点P（0，5）．
（Ⅰ）若弦AB的长为4

3

，求直线AB的方程；
（Ⅱ）求弦AB中点D的轨迹方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）把圆的一般方程化为标准方程求出圆心坐标和圆的半径，解直角三角形求出圆心到直线的距离，设出直线的点斜式方程并整理为一般式，利用点到直线的距离得到k的等式，代入距离后求得k的值；
（Ⅱ）直接设出AB中点D的坐标，把CD⊥PD转化为对应向量的数量积等于0，代入坐标后可得弦AB中点D的轨迹方程．

解答：解：（Ⅰ）设D是线段AB的中点，则CD⊥AB，
由x²+y²+4x-12y+24=0得（x+2）²+（y-6）²=16．
所以圆心C（-2，6），半径r=4．
因为|AB|=4

3

，∴|AD|=2

3

，又|AC|=4．
在Rt△ACD中，可得|CD|=2．
设直线l的方程为：y=kx-5，
即kx-y+5=0．由点C到直线AB的距离公式：

|-2k-6+5|

k2+1

=2，得k=

3

4

，
此时直线l的方程为3x-4y+20=0．
又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x=0．
∴所求直线l的方程为x=0或3x-4y+20=0．
（Ⅱ） 设D（x，y），则CD⊥PD，
∴

CD

•

PD

=0，
∴（x+2，y-6）•（x，y-5）=0，
化简得所求轨迹方程为x²+y²+2x-11y+30=0（在圆内部分）．

点评：本题考查了直线与圆的关系，考查了利用平面向量的数量积求轨迹方程，体现了数学转化思想方法，是中档题．