Question

已知a∈R，且以下命题都为真命题：
命题p：实系数一元二次方程x²+ax+2=0的两根都是虚数；
命题q：存在复数z同时满足|z|=2且|z+a|=1．
求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：x²+ax+2=0的两根都是虚数，说明该方程在实数范围内无实根，复数模通常考虑其几何意义解题．

解答：解：由命题p为真，可得△=a2-8＜0?a∈(-2

2

，2

2

)；
又x²+y²=4表示以（0，0）为圆心，以2为半径的圆；
而（x+a）²+y²=1是以（-a，0）为圆心，以1为半径的圆．
由命题q为真，可知复平面上的圆x²+y²=4和圆（x+a）²+y²=1有公共交点，
所以，实数a∈[-3，-1]∪[1，3]，
故两个命题同时为真的实数的取值范围是a∈(-2

2

，-1]∪[1，2

2

)．

点评：实系数一元二次方程ax²+bx+c=0的两根都是虚数时，则方程无实根，即判别式△＜0．注意端点值的取舍．