在平面直角坐标系xOy中.椭圆E:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$.两个顶点分别为A.点M.且3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$.过点M斜率为k的直线交椭圆E于C.D两点.其中点C在x轴上方．(1)求椭圆E的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

19．

在平面直角坐标系xOy中，椭圆E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{3}}{2}$，两个顶点分别为A（-a，0），B（a，0），点M（-1，0），且3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，过点M斜率为k（k≠0）的直线交椭圆E于C，D两点，其中点C在x轴上方．
（1）求椭圆E的方程；
（2）若BC⊥CD，求k的值；
（3）记直线AD，BC的斜率分别为k₁，k₂，求证：$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$为定值．

分析（1）由3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，得a 即可；
（2）设点C的坐标为（x₀，y₀），y₀＞0，由BC⊥CD，得（-1-x₀）（ 2-x₀）+y₀²=0．解得x₀=-$\frac{2}{3}$，y₀=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，即可．
（3），设C（x₀，y₀），则CD：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1）（-2＜x₀＜2且x₀≠-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y0}{x0+1}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+y2=1\end{array}$消去y，得x²+8y₀²x+4y₀²-4（x₀+1）²=0，得D（$\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}$，$\frac{-3{y}_{0}}{5+2{x}_{0}}$），可求$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$

解答解：（1）因为3$\overrightarrow{AM}$=$\overrightarrow{MB}$，所以3（-1+a，0）=（a+1，0），解得a=2．              …（2分）
又因为$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以c=$\sqrt{3}$，所以b²=a²-c²=1，
所以椭圆E的方程为$\frac{x2}{4}$+y²=1．                        …（4分）
（2）设点C的坐标为（x₀，y₀），y₀＞0，
则$\overrightarrow{CM}$=（-1-x₀，-y₀），$\overrightarrow{CB}$=（2-x₀，-y₀）．
因为BC⊥CD，所以（-1-x₀）（ 2-x₀）+y₀²=0． ①…（6分）
又因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，②
联立①②，解得x₀=-$\frac{2}{3}$，y₀=$\frac{2\sqrt{2}}{3}$，…（8分）
所以k=$\frac{\frac{2\sqrt{2}}{3}}{-\frac{2}{3}+1}$=2$\sqrt{2}$．                               …（10分）
（3），设C（x₀，y₀），则CD：y=$\frac{{y}_{0}}{{x}_{0}+1}$（x+1）（-2＜x₀＜2且x₀≠-1），
由$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{y0}{x0+1}（x+1）\\ \frac{x2}{4}+y2=1\end{array}$消去y，
得x²+8y₀²x+4y₀²-4（x₀+1）²=0．…（12分）
又因为$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}$+y₀²=1，所以得D（$\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}$，$\frac{-3{y}_{0}}{5+2{x}_{0}}$），…（14分）
所以$\frac{{k}_{1}}{{k}_{2}}$=$\frac{\frac{-3{y}_{0}}{5+2{y}_{0}}}{\frac{-8-5{x}_{0}}{5+2{x}_{0}}}•\frac{{x}_{0}-2}{{y}_{0}}$=$\frac{-3{y}_{0}}{-{x}_{0}+2}•\frac{{x}_{0}-2}{{y}_{0}}$=3，
所以$\frac{k1}{k2}$为定值．                                …（16分）

点评本题考查了直线椭圆的位置关系，对计算能力的要求较高，设而不求、方程的思想贯穿整个解题过程，属于中档题．

练习册系列答案

中考分类必备全国中考真题分类汇编系列答案

中考分类集训系列答案

中考复习导学案系列答案

中考复习信息快递系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

9．已知函数f（x）=a（x+a）（x-a+3），g（x）=2^x+2-1，若对任意x∈R，f（x）＞0和g（x）＞0至少有一个成立，则实数a的取值范围是（　　）

A．

（1，2）

B．

（2，3）

C．

（-2，-1）∪（1，+∞）

D．

（0，2）

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：选择题

10．△ABC中，D在AC上，且$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}\overrightarrow{DC}$，P是BD上的点，$\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+\frac{2}{9}\overrightarrow{AC}$，则m的值是（　　）

A．

$\frac{1}{3}$

B．

$\frac{1}{2}$

C．

$\frac{1}{4}$

D．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

7．在平面直角坐标系xOy中，点（4，3）到直线3x-4y+a=0的距离为1，则实数a的值是±5．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

14．有下列命题：
①“m＞0”是“方程x²+my²=1表示椭圆”的充要条件；
②“a=1”是“直线l₁：ax+y-1=0与直线l₂：x+ay-2=0平行”的充分不必要条件；
③“函数f （x）=x³+mx单调递增”是“m＞0”的充要条件；
④已知p，q是两个不等价命题，则“p或q是真命题”是“p且q是真命题”的必要不充分条件．
其中所有真命题的序号是②④．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

5．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{\sqrt{2}}{2}+rcosθ}\\{y=\frac{\sqrt{2}}{2}+rsinθ}\end{array}$（θ为参数，r＞0），以O为极点，x轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρsin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
（1）求圆心的极坐标；
（2）若圆C上的点到直线l的最大距离为2$\sqrt{2}$，求r的值．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：填空题

12．已知矩阵M=$[\begin{array}{l}{3}&{0}\\{0}&{1}\end{array}]$，N=$[\begin{array}{l}{1}&{0}\\{0}&{\frac{1}{2}}\end{array}]$，则矩阵MN的逆矩阵是$[\begin{array}{l}{\frac{1}{3}}&{0}\\{0}&{2}\end{array}]$．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

9．已知数列{x_n}满足${x}_{1}=\frac{1}{2}$，且${x}_{n+1}=\frac{{x}_{n}}{2-{x}_{n}}（n∈{N}^{+}）$
（1）用数学归纳法证明：0＜x_n＜1；
（2）设${a}_{n}=\frac{1}{{x}_{n}}$，求数列{a_n}的通项公式．

查看答案和解析>>

科目：高中数学 来源： 题型：解答题

10．计算：
（1）$2{log_3}2-{log_3}\frac{32}{9}+{log_3}8-{5^{{{log}_5}3}}$
（2）${0.064^{-\frac{1}{3}}}-{（{-\frac{1}{8}}）^0}+{16^{\frac{3}{4}}}+{0.25^{\frac{1}{2}}}+2{log_3}6-{log_3}12$．

查看答案和解析>>

同步练习册答案

练习册

高中

初中

小学