Question

已知函数f（x）=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x+1，求：
（1）函数f（x）的最小正周期；
（2）函数f（x）的值域．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,函数的值域,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）由两角和的正弦公式化简解析式可得f（x）=2sin（

x

2

+

π

3

）+1，从而由三角函数的周期性及其求法即可得解．
（2）根据正弦函数的性质可得sin（

x

2

+

π

3

）∈[-1，1]，从而可求得2sin（

x

2

+

π

3

）+1∈[-1，3]．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin

1

2

x+

3

cos

1

2

x+1=2sin（

x

2

+

π

3

）+1，
∴T=

2π

1 2

=4π，故函数f（x）的最小正周期是4π．
（2）∵sin（

x

2

+

π

3

）∈[-1，1]，
∴2sin（

x

2

+

π

3

）+1∈[-1，3]，
∴函数f（x）的值域为[-1，3]．

点评：本题主要考查了两角和的正弦公式的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的值域的求法，属于基础题．