Question

已知函数f（x）=kx²-4x-8在[5，20]上是单调函数，则实数k的取值范围是

 

．

Answer 1

分析：①当k=0时，f（x）是一次函数，在R上是减函数，满足条件．②当k＞0时、③k＜0时，根据二次函数对称轴，利用二次函数的性质分别求得实数k的取值范围，
综合可得结论．

解答：解：①当k=0时，f（x）=-4x-8，满足在[5，20]上是单调函数．
②当k＞0时，由于函数f（x）=kx²-4x-8的对称轴为 x=

2

k

，
由题意可得

2

k

≤5，或 

2

k

≥20，
解得 k≥

2

5

，或k≤

1

10

．
综合可得，k≥

2

5

，或0＜k≤

1

10

．
③当k＜0时，由于对称轴为 x=

2

k

＜0，显然满足f（x）=kx²-4x-8在[5，20]上是单调递减函数．
综合①②③可得，k≥

2

5

，或 k≤

1

10

，
故答案为：（-∞，

1

10

]∪[

2

5

，+∞）．

点评：本题主要考查二次函数在闭区间上的单调性，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．