Question

二次函数f（x）满足f（x+1）-f（x）=2x，且f（0）=1，则函数y=f（x）-3的零点是

-1，2

．

Answer 1

分析：设出二次函数解析式，代入f（x+1）-f（x）=2x，利用恒等关系，可得函数解析式，从而可得函数的零点．

解答：解：由题意，设其方程为f（x）=ax²+bx+1（a≠0）
∵f（x+1）-f（x）=2x，
∴a（x+1）²+b（x+1）+1-（ax²+bx+1）=2x
∴2ax+a+b=2x，
∴2a=2，a+b=0
∴a=1，b=-1
∴f（x）=x²-x+1
∴y=f（x）-3=x²-x-2
令y=0，即x²-x-2=0，
∴x=-1或x=2，即函数y=f（x）-3的零点是-1，2
故答案为：-1，2

点评：本题考查函数解析式的求解，考查函数的零点，解题的关键是了解二次函数的解析式的结构利用待定系数法设出解析式，再代入所给的条件求出参数．