Question

设数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=1，且对任意正整数n，点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上．
（Ⅰ） 求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）是否存在实数λ，使得数列{S_n+λ•n+

λ

2n

}为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，则说明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知条件可得 2a_n+1 +S_n -2=0，可得n≥2时，2a_n+s_n-1-2=0，相减可得

an+1

an

=

1

2

  （n≥2）．由此可得{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，由此求得数列{a_n}的通项公式．
（Ⅱ）先求出s_n=2-(

1

2

)n-1，若数列{S_n+λ•n+

λ

2n

}为等差数列，则由第二项的2倍等于第一项加上第三项，求出λ=2，经检验λ=2时，此数列的通项公式是关于n的一次函数，故满足数列为等差数列，从而得出结论．

解答：解：（Ⅰ）∵点（a_n+1，S_n）在直线2x+y-2=0上，∴2a_n+1 +S_n -2=0． ①
n≥2时，2a_n+s_n-1-2=0．       ②
①─②得 2a_n+1 -2a_n+a_n=0，∴

an+1

an

=

1

2

  （n≥2）．
再由a₁=1，可得 a₂=

1

2

．
∴{a_n}是首项为1，公比为

1

2

的等比数列，
∴a_n =(

1

2

)n-1．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得  s_n=

1-( 1 2 )n

1- 1 2

=2-(

1

2

)n-1．
若数列{S_n+λ•n+

λ

2n

}为等差数列，
则 s₁+λ+

λ

2

，s₂+2λ+

λ

22

，s₃+3λ+

λ

23

 成等差数列，
∴2（s₂+2λ+

λ

22

）=（s₁+λ+

λ

2

）+（s₃+3λ+

λ

23

），解得 λ=2．                  
又λ=2时，S_n+λ•n+

λ

2n

=2n+2，显然 {2n+2}成等差数列，
故存在实数λ=2，使得数列 {S_n+λ•n+

λ

2n

}成等差数列．

点评：本题主要考查等差关系的确定，根据数列的递推关系求通项，属于中档题．