Question

5．等差数列{a_n}中，前n项和为S_n，|a₃|=|a₉|，公差d＜0．若存自然数N，对于任意的自然数n≥N，总有S_n+1≤S_n成立，则N值为（　　）

• A． 7和8
• B． 6和7
• C． 5和6
• D． 4和5

Answer 1

分析 根据题意，求出首项a₁与公差d的关系，得出通项公式a_n，利用S_n+1≤S_n，得出$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥0}\\{{a}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$，由此求出n的值．

解答 解：等差数列中，∵|a₃|=|a₉|，
∴a₃²=a₉²，
即（a₁+2d）²=（a₁+8d）²，
∴a₁=-5d，
∴a_n=a₁+（n-1）d=（n-6）d；
又S_n+1≤S_n，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{n}≥0}\\{{a}_{n+1}≤0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{（n-6）d≥0}\\{（n+1-6）d≤0}\end{array}\right.$，
化简得$\left\{\begin{array}{l}{n-6≤0}\\{n-5≥0}\end{array}\right.$，
解得5≤n≤6．
故选：C．

点评 本题考查了等差数列的前n项和以及灵活运用等差数列的通项公式解决问题的能力，是中档题目．