Question

9．已知复数z=（a+2i）（1-bi），其中i是虚数单位．
（1）若z=5-i，求a，b的值；
（2）若z的实部为2，且a＞0，b＞0，求证：$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4．

Answer 1

分析 （1）由复数z=（a+2i）（1-bi），又z=5-i，根据复数相等的充要条件列出方程组，求解即可得答案；
（2）若z的实部为2，即a+2b=2，由a＞0，b＞0且a+2b=2，得到$\frac{1}{2}$（a+2b）=1，再由基本不等式计算即可证得结论．

解答 解：（1）由复数z=（a+2i）（1-bi），又z=5-i，
得（a+2i）（1-bi）=（a+2b）+（2-ab）i=5-i，
则$\left\{\begin{array}{l}{a+2b=5}\\{2-ab=-1}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{a=2}\\{b=\frac{3}{2}}\end{array}\right.$；
证明：（2）若z的实部为2，即a+2b=2．
∵a＞0，b＞0且a+2b=2，
∴$\frac{1}{2}$（a+2b）=1，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$）（a+2b）
=$\frac{1}{2}（4+\frac{4b}{a}+\frac{a}{b}）$≥$\frac{1}{2}（4+2\sqrt{\frac{4b}{a}•\frac{a}{b}}）=4$．
当且仅当$\frac{4b}{a}=\frac{a}{b}$，即a=1，b=$\frac{1}{2}$时取等号，
∴$\frac{2}{a}$+$\frac{1}{b}$≥4．

点评 本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了基本不等式的运用，是基础题．