Question

（本题满分12分）

已知函数，当恒成立的a的最小值为k，存在n个

正数，且，任取n个自变量的值

   （I）求k的值；

   （II）如果

   （III）如果，且存在n个自变量的值，使，求证：

Answer 1

（本小题满分12分）

解：（Ⅰ）令，则，

，

当时，此时在条件下，，

 则在上为减函数，所以，

所以在上为减函数，

所以当时，，即；

当，即时，存在，使得，

当时，，为减函数，则，

即在上递减，则时，，

所以，即；      （2分）

当，即时，，

则在上为增函数，即当时，，即；

当，即时，当时，，

则在上为增函数，当时，，即．

综上，，则的最小值．             （4分）

（Ⅱ）不妨设,

，，

所以在上为增函数，           （5分）

令．

,

当时, 因为，所以，   （7分）

即在上为增函数，所以，

则，

则原结论成立．          （8分）

（Ⅲ）（ⅰ）当时，结论成立；

       （ⅱ）假设当结论成立，即存在个正数，

时，对于个自变量的值, 有

．

当时，

令存在个正数, ，

令，则，

对于个自变量的值,

此时

．    （10分）

因为, 所以

所以时结论也成立，                     （11分）

综上可得．

当时, ，              （12分）

所以在上单调递增，

所以．