【题目】在某超市,随机调查了100名顾客购物时使用手机支付的情况,得到如下的列联表,已知其中从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为.
(1)根据已知条件完成列联表,并根据此资料判断是否有的把握认为“超市购物用手机支付与年龄有关”?
(2)现采用分层抽样从这100名顾客中按照“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本,设事件为“从这个样本中任选3人,这3人中至少有2人是使用手机支付的”,求事件发生的概率?
列联表
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 60 | ||
不使用手机支付 | 28 | ||
合计 | 100 |
0.001 | |||||
10.828 |
附:
【答案】(1)答案见解析;(2).
【解析】分析:(1)由从使用手机支付的人群中随机抽取1人的概率可计算出人数,从而计算出列联表中的各数据,再根据计算公式计算出,可得结论;
(2)从分层抽样知“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取的人数分别是3和2,分别编号后用列举到列举出任取3人的所有可能事件,同时得出“这3人中至少有2人是使用手机支付的”的事件个数,再由概率公式计算出概率.
详解: (Ⅰ)从使用手机支付的人群中随机抽取1人,抽到青年的概率为
使用手机支付的人群中的青年的人数为人,
则使用手机支付的人群中的中老年的人数为人,所以列联表为:
青年 | 中老年 | 合计 | |
使用手机支付 | 48 | 12 | 60 |
不使用手机支付 | 12 | 28 | 40 |
合计 | 60 | 40 | 100 |
故有99.9%的把握认为“市场购物用手机支付与年龄有关”.
(2) 这100名顾客中采用分层抽样从“使用手机支付”和“不使用手机支付”中抽取得到一个容量为5的样本中:
使用手机支付的人有人,记编号为1,2,3
不使用手机支付的人有2人,记编号为a,b,
则从这个样本中任选3人有
(1,2,3)(1,2,
其中至少有2人是不使用手机支付的
(1,2,a) (1,2,b) (1,3,a)(1,3,b)(2,3,a)(2,3,b)(1,2,3)共7种,
故.
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【题目】某篮球运动员每次在罚球线投篮投进的概率是0.8,且各次投篮的结果互不影响.
(1)假设这名运动员投篮3次,求恰有2次投进的概率(结果用分数表示);
(2)假设这名运动员投篮3次,每次投进得1分,未投进得0分;在3次投篮中,若有2次连续投进,而另外一次未投进,则额外加1分;若3次全投进,则额外加3分,记为该篮球运动员投篮3次后的总分数,求的分布列及数学期望(结果用分数表示).
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【题目】中国大学先修课程,是在高中开设的具有大学水平的课程,旨在让学有余力的高中生早接受大学思维方式、学习方法的训练,为大学学习乃至未来的职业生涯做好准备,某高中每年招收学生1000人,开设大学先修课程已有两年,共有300人参与学习先修课程,两年全校共有优等生200人,学习先修课程的优等生有50人,这两年学习先修课程的学生都参加了考试,并且都参加了某高校的自主招生考试(满分100分),结果如下表所示:
(1)填写列联表,并画出列联表的等高条形图,并通过图形判断学习先修课程与优等生是否有关系,根据列联表的独立性体验,能否在犯错误的概率不超过0.01的前提下认为学习先修课程与优等生有关系?
(2)已知今年有150名学生报名学习大学先修课程,以前两年参加大学先修课程学习成绩的频率作为今年参加大学先修课程学习成绩的概率.
①在今年参与大学先修课程的学生中任取一人,求他获得某高校自主招生通过的概率;
②某班有4名学生参加了大学先修课程的学习,设获得某高校自主招生通过的人数为,求的分布列,并求今年全校参加大学先修课程的学生获得大学自主招生通过的人数.
参考数据:
参考公式: ,期中,
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系中,圆的参数方程为(为参数),圆与圆外切于原点,且两圆圆心的距离,以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)求圆和圆的极坐标方程;
(2)过点的直线、与圆异于点的交点分别为点和点,与圆异于点的交点分别为点和点,且.求四边形面积的最大值.
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【题目】已知函数.
(1)若,求曲线在点处的切线;
(2)若函数在其定义域内为增函数,求正实数的取值范围;
(3)设函数,若在上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.
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【题目】某课程考核分理论与实验两部分进行,每部分考核成绩只记“合格”与“不合格”,两部分考核都是“合格”,则该课程考核“合格”,若甲、乙、丙三人在理论考核中合格的概率分别为0.9,0.8,0.7,在实验考核中合格的概率分别为0.8,0.7,0.9,所有考核是否合格相互之间没有影响.
(1)求甲、乙、丙三人在理论考核中至少有两人合格的概率;
(2)求这三个人该课程考核都合格的概率(结果保留三位小数).
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【题目】选修4—4:极坐标与参数方程
在平面直角坐标系中,将曲线 (为参数) 上任意一点经过伸缩变换后得到曲线的图形.以坐标原点为极点,x轴的非负半轴为极轴,取相同的单位长度建立极坐标系,已知直线.
(Ⅰ)求曲线和直线的普通方程;
(Ⅱ)点P为曲线上的任意一点,求点P到直线的距离的最大值及取得最大值时点P的坐标.
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【题目】某学校为了加强学生数学核心素养的培养,锻炼学生自主探究学习的能力,他们以教材第97页B组第3题的函数为基本素材,研究该函数的相关性质,取得部分研究成果如下:
①同学甲发现:函数是偶函数;
②同学乙发现:对于任意的都有;
③同学丙发现:对于任意的,都有;
④同学丁发现:对于函数定义域中任意的两个不同实数,总满足.
其中所有正确研究成果的序号是__________.
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