选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l经过点P(-1,0),其倾斜角为α,以原点O为极点,以x轴非负半轴为极轴,与直角坐标系xOy取相同的长度单位,建立极坐标系.设曲线C的极坐标方程为ρ2-6ρcosθ+5=0.
(1)若直线l与曲线C有公共点,求α的取值范围;
(2)设M(x,y)为曲线C上任意一点,求x+y的取值范围.
解:(1)将曲线ρ
2-6ρcosθ+5=0化成直角坐标方程,得圆C:x
2+y
2-6x+5=0
直线l的参数方程为
(t为参数)
将其代入圆C方程,得(-1+tcosα)
2+(tsinα)
2-6tsinα+5=0
整理,得t
2-8tcosα+12=0
∵直线l与圆C有公共点,
∴△≥0,即64cos
2α-48≥0,可得cosα≤-
或cosα≥
∵α为直线的倾斜角,得α∈[0,π)
∴α的取值范围为[0,
]∪[
,π)
(2)由圆C:x
2+y
2-6x+5=0化成参数方程,得
(θ为参数)
∵M(x,y)为曲线C上任意一点,
∴x+y=3+2cosθ+2sinθ=3+2
sin(θ+
)
∵sin(θ+
)∈[-1,1]
∴2
sin(θ+
)∈[-2
,2
],可得x+y的取值范围是[3-2
,3+2
].
分析:(1)先根据极坐标与直角坐标互化的公式,算出曲线C的直角坐标方程,再结合直线l的参数方程:
,联解得到关于参数t的二次方程,运用根的判别式列式并解之,即可得到角α的取值范围;
(2)由(1)可得曲线C的参数方程,从而得到x+y=3+2
sin(θ+
),最后结合正弦函数的值域,即可得到x+y的取值范围.
点评:本题给出直线与圆的极坐标方程,要求我们将其化成直角坐标方程并研究直线与圆位置关系.着重考查了直角坐标与极坐标的互化、简单曲线的极坐标方程和直线与圆的位置关系等知识,属于中档题.