Question

5．已知x²+y²-4x-2y-4=0，则$\frac{2x+3y+1}{x+2}$的最小值是（　　）

• A． -2
• B． $-\frac{17}{4}$
• C． $-\frac{29}{5}$
• D． $2-\frac{{9\sqrt{7}}}{7}$

Answer 1

分析 先变形，再令k=$\frac{y-1}{x+2}$．则k是过A（x，y）和B（-2，1）的直线的斜率，利用直线AB和圆有公共点，所以圆心（2，1）到直线距离小于等于半径r=3，可得结论．

解答 解：$\frac{2x+3y+1}{x+2}$=2+3•$\frac{y-1}{x+2}$．
x²+y²-4x-2y-4=0可化为（x-2）²+（y-1）²=9．
令k=$\frac{y-1}{x+2}$．则k是过A（x，y）和B（-2，1）的直线的斜率，可化为kx-y+（1+2k）=0，
所以直线AB和圆有公共点，所以圆心（2，1）到直线距离小于等于半径r=3，
所以$\frac{|4k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$≤3，
所以-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$≤k≤$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
所以$\frac{y-1}{x+2}$的最小值是-$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
所以$\frac{2x+3y+1}{x+2}$的最小值是2-$\frac{9\sqrt{7}}{7}$，
故选D．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，利用圆心（2，1）到直线距离小于等于半径r=3是关键．