【题目】如图,在三棱柱中, 底面, , , , 是棱上一点.
(I)求证: .
(II)若, 分别是, 的中点,求证: ∥平面.
(III)若二面角的大小为,求线段的长
【答案】(I)见解析(II)见解析(III)
【解析】试题分析:
(1)∵平面,∴.又,所以面.从而(2)欲证线面平行,转证即可,(3))以为原点, , , 分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.
求出法向量,带入公式即可.
试题解析:
(I)∵平面, 面,
∴.
∵, ,
∴中, ,
∴.
∵,
∴面.
∵面,
∴.
(II)连接交于点.
∵四边形是平行四边形,
∴是的中点.
又∵, 分别是, 的中点,
∴,且,
∴四边形是平行四边形,
∴.
又平面, 面,
∴平面.
(III)∵,且平面,
∴, , 两两垂直。
以为原点, , , 分别为轴, 轴, 轴建立空间直角坐标系.
设,则, , , ,
∴, , .
设平面的法向量为,
故, ,
则有,令,则,
又平面的法向量为.
∵二面角的大小为,
∴,
解得,即,
,
∴.
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【题目】连接球面上两点的线段称为球的弦,半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2 和4 ,M、N分别是AB、CD的中点,两条弦的两端都在球面上运动,有下面四个命题:
①弦AB、CD可能相交于点M;
②弦AB、CD可能相交于点N;
③MN的最大值是5;
④MN的最小值是1;
其中所有正确命题的序号为 .
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【题目】设不等式组 所表示的平面区域为Dn , 记Dn内的格点(格点即横坐标和纵坐标皆为整数的点)的个数为f(n)(n∈N*).
(1)求f(1)、f(2)的值及f(n)的表达式;
(2)设bn=2nf(n),Sn为{bn}的前n项和,求Sn;
(3)记 ,若对于一切正整数n,总有Tn≤m成立,求实数m的取值范围.
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【题目】如图,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,D,E分别为AB,BC的中点,点F在侧棱B1B上,且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1B1 . 求证:
(1)直线DE∥平面A1C1F;
(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.
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【题目】已知n∈N* , 设Sn是单调递减的等比数列{an}的前n项和,a1= 且S2+a2 , S4+a4 , S3+a3成等差数列.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)记数列{nan}的前n项和为Tn , 求证:对于任意正整数n, .
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【题目】设f(k)是满足不等式log2x+log2(52k﹣1﹣x)≥2k(k∈N*)的自然数x的个数.
(1)求f(k)的函数解析式;
(2)Sn=f(1)+2f(2)+…+nf(n),求Sn .
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【题目】虽然吸烟有害健康,但是由于历史以及社会的原因,吸烟也是部分公民交际的重要媒介.世界卫生组织1987年11月建议把每年的4月7日定为世界无烟日,且从1989年开始,世界无烟日改为每年的5月31日.某报社记者专门对吸烟的市民做了戒烟方面的调查,经抽样只有的烟民表示愿意戒烟,将频率视为概率.
(1)从该市吸烟的市民中随机抽取3位,求至少有一位烟民愿意戒烟的概率;
(2)从该市吸烟的市民中随机抽取4位, 表示愿意戒烟的人数,求的分布列及数学期望.
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【题目】选修4-5:不等式选讲
定义在上的函数,若,有,则称函数为定义在上的非严格单增函数;若,有,则称函数为定义在上的非严格单减函数.已知: .
(1)若函数为定义在上的非严格单增函数,求实数的取值范围.
(2)若函数为定义在上的非严格单减函数,试解不等式.
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,已知向量 =( ,﹣ ), =(sinx,cosx),x∈(0, ).
(1)若 ⊥ ,求tanx的值;
(2)若 与 的夹角为 ,求x的值.
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