Question

直线y=kx+1与双曲线x²-y²=1的左支交于A，B两点，直线l经过点（-2，0）及AB中点，求直线l在y轴上截距b的取值范围．

Answer 1

分析：直线与双曲线方程联立消去y，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），进而根据判别大于0及x₁和x₂的范围求得k的范围，表示出AB中点的坐标，进而表示出直线l的方程，令x=0求得b关于k的表达式，根据k的范围求得b的范围．

解答：解：由

y=kx+1 x2-y2=1

得（1-k²）x²-2kx-2=0，设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
则

△＞0 x1+x2＜0 x1•x2＞0

?

4k2+8(1-k2)＞0 2k 1-k2 ＜0 -2 1-k2 ＞0

?1＜k＜

2

，
AB中点为(

k

1-k2

，

1

1-k2

)，
∴l方程为y=

x+2

-2k2+k+2

，令x=0，
得b=

2

-2k2+k+2

=

2

-2(k- 1 4 )2+ 17 8

，
∵1＜k＜

2

，
∴

2

-2＜-2(k-

1

4

)2+

17

8

＜1，
所以，b的范围是(-∞，-2-

2

)∪(2，+∞)．

点评：本题主要考查了直线与圆锥曲线综合问题．用k表示b的过程即是建立目标函数的过程，本题要注意k的取值范围．