Question

郑（本题满分14分）已知定点A(0，)( >0)，直线 ：交轴于点B，记过点A且与直线l₁相切的圆的圆心为点C．

(I)求动点C的轨迹E的方程；

(Ⅱ)设倾斜角为的直线过点A，交轨迹E于两点 P、Q，交直线于点R．

(1)若tan=1，且ΔPQB的面积为，求的值；

(2)若∈[，]，求|PR|·|QR|的最小值．

Answer 1

解法一：(Ⅰ)连CA，过C作CD⊥l₁，垂足为D，由已知可得|CA|=|CD|，

     ∴点C的轨迹是以A为焦点，l₁为准线的抛物线，

     ∴轨迹E的方程为x²=4ay  …………………(4分)

 (Ⅱ)直线l₂的方程为y=kx+a，与抛物线方程联立消去y得                   

x²-4akx-4a²=0．

记P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)，

则x₁+x₂=4ak，x₁x₂a²<0.      …………(6分)

(1)若tanα=1,即k=1,此时x₁+x₂=4a , x₁x₂=-4a².

∴S_ΔBPQ=S_ΔABP+S_ΔABQ=a|x₁|+a|x₂|=a|x₂-x₁|

=a=a=a=4a² .  …………(8分)

∴4a²=，注意到a>0,∴a =                ………………………………(9分)

(2) 因为直线PA的斜率k≠O，易得点R的坐标为(,-a).             ……(10分)

|PR|·|QR|=·＝（x₁+，y₁+a）·（x₂+，y₂+a）

              =（x₁+）（x₂+）+（kx₁+2 a）（kx₂+ 2a）

    =(1+k²) x₁ x₂+(+2 ak)( x₁+x₂)+ +4a²

   = -4a²(1+k²)+4ak(+2ak)++4a²  =4a²(k²+)+8a²≥8a²+8a²=16a²

又α∈[,],∴k∈[,1],

当且仅当k²=, 即k=1时取到等号．                  ……………………(12分)

从而|PR|·|QR|的最小值为16a².                        ……………………(14分)