Question

【题目】如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC， ，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．
（Ⅰ）证明：平面A1DC⊥平面ADC；
（Ⅱ）求平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：∵侧棱AA1⊥底面ABC，∴AA1⊥AC，

又∵AB⊥AC，AB∩AC=A，∴AC⊥平面ABB1A1，

∵A1D平面ABB1A1，∴AC⊥A1D，

设AB=a，由 ，AB⊥AC，D是棱BB1的中点．

得 ，AA1=2a，

则 + ，

∴AD⊥A1D，

∵AD∩AC=A，∴A1D⊥平面ADC．

又∵A1D平面A1DC，∴平面A1DC⊥平面ADC；

（Ⅱ）解：如图所示，分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，

不妨设AB=1，则A（0，0，0），D（1，0，1），C（0，1，0），A1（0，0，2）．

显然 是平面ABC的一个法向量，

设平面A1DC的法向量 ，

由

令z=1，得平面A1DC的一个法向量 ，

∴ = ，

即平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值为 ．

【解析】（Ⅰ）由侧棱AA1⊥底面ABC，得AA1⊥AC，结合AB⊥AC，利用线面垂直的判定可得AC⊥平面ABB1A1，进一步得到AC⊥A1D，AB=a，通过求解三角形可得AD⊥A1D，得到A1D⊥平面ADC．由线面垂直的判定可得平面A1DC⊥平面ADC；（Ⅱ）分别以AB，AC，AA1所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设AB=1，求得A，D，C，A1的坐标，进一步求出平面ABC与平面A1DC的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得平面A1DC与平面ABC所成二面角的余弦值．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．