Question

设为常数，已知函数在区间上是增函数，在区间上是减函数．
（1）设为函数的图像上任意一点，求点到直线的距离的最小值；
（2）若对任意的且，恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）．（Ⅱ）．

试题分析：（Ⅰ）∵在区间上是增函数，
∴当时，恒成立，即恒成立，所以．
又在区间上是减函数，
故当时，恒成立，即恒成立，所以．
综上，．
由，得，
令，则，而，
所以的图象上处的切线与直线平行，
所以所求距离的最小值为．              （6分）
（Ⅱ）因为，则，
因为当时，恒成立，所以，
因为当时，，所以上是减函数，
从而，
所以当时，，即恒成立，所以．
因为在上是减函数，所以，
从而，即，
故实数的取值范围是．                    （12分）
点评：近几年新课标高考对于函数与导数这一综合问题的命制，一般以有理函数与半超越（指数、对数）函数的组合复合且含有参量的函数为背景载体，解题时要注意对数式对函数定义域的隐蔽，这类问题重点考查函数单调性、导数运算、不等式方程的求解等基本知识，注重数学思想（分类与整合、数与形的结合）方法（分析法、综合法、反证法）的运用.把数学运算的“力量”与数学思维的“技巧”完美结合