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19.已知向量$\overrightarrow{a}$=(3,4),$\overrightarrow{b}$=(9,x),$\overrightarrow{c}$=(4,y),且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$.
(1)求$\overrightarrow{b}$和$\overrightarrow{c}$;
(2)求2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的夹角θ的余弦值.

分析 (1)运用向量共线和垂直的条件,解方程可得x,y,即可得到所求向量;
(2)求得2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$与$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$的坐标,运用向量的模的公式和向量数量积的坐标表示,计算即可得到所求值.

解答 解(1)因为向量$\overrightarrow{a}$=(3,4),$\overrightarrow{b}$=(9,x),$\overrightarrow{c}$=(4,y),且$\overrightarrow{a}$∥$\overrightarrow{b}$,$\overrightarrow{a}$⊥$\overrightarrow{c}$.
所以3x=4×9,12+4y=0,
解得x=12,y=-3,
所以$\overrightarrow{b}$=(9,12),$\overrightarrow{c}$=(4,-3),
(2)2$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow{b}$=(-3,-4),$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{c}$=(7,1),
则cosθ=$\frac{(2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b})•(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c})}{|2\overrightarrow{a}-\overrightarrow{b}|•|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{c}|}$=$\frac{-3×7-4}{\sqrt{9+16}•\sqrt{49+1}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$.

点评 本题考查平面向量共线和向量垂直的条件,以及向量夹角公式的运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.

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