Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=e^x．
（Ⅰ）求函数y=f（x）-x的单调区间；
（Ⅱ）若不等式g（x）＜

x-m

x

在（0．+∞）上有解，求实数m的取值范围；
（Ⅲ）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）＞2．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,其他不等式的解法

专题：计算题,证明题,函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）先求f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），再求导y′=f′（x）-1=

1

x

-1，（x＞0）；从而判断函数的单调区间；
（Ⅱ）化简得e^x＜

x-m

x

在（0，+∞）上有解，即m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可；设h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），从而由导数求解；
（Ⅲ）先求公共定义域为（0，+∞），再构造g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x）；设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）；设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；从而证明．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=lnx的定义域为（0，+∞），
y′=f′（x）-1=

1

x

-1，（x＞0）；
当x∈（0，1）时，y′＞0，y=f（x）-x单调递增；
当x∈（1，+∞）时，y′＜0，y=f（x）-x单调递减；
综上所述，函数y=f（x）-x的单调增区间为（0，1），单调减区间为（1，+∞）；

（Ⅱ）由题意，e^x＜

x-m

x

在（0，+∞）上有解，
即e^x

x

＜x-m有解；
故m＜x-e^x

x

，x∈（0，+∞）有解即可；
设h（x）=x-e^x

x

，h′（x）=1-e^x（

x

+

1

2 x

），
∵

x

+

1

2 x

≥2

1 2

=

2

＞1，
且x∈（0，+∞）时，e^x＞1；
∴1-e^x（

x

+

1

2 x

）＜0，
即h′（x）＜0；
故h（x）在（0，+∞）上是减函数，
故h（x）＜h（0）=0；
故m＜0；

（Ⅲ）证明：函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域为（0，+∞），
g（x）-f（x）=e^x-lnx=（e^x-x）-（lnx-x）；
设m（x）=e^x-x，x∈（0，+∞）；
∵m′（x）=e^x-1＞0，故m（x）在（0，+∞）上是增函数，
m（x）＞m（0）=1；
又设n（x）=lnx-x，x∈（0，+∞）；
故n（x）≤n（1）=-1；
所以g（x）-f（x）=m（x）-n（x）＞1+1=2；
即函数y=f（x）和y=g（x）在公共定义域内，g（x）-f（x）＞2．

点评：本题考查了导数的综合应用及恒成立问题转化为最值问题的能力，同时考查了构造函数的应用，属于难题．