Question

7．已知抛物线y²=2px（p＞0），过焦点F，且倾斜角为60°的直线与抛物线交于A，B两点，若|AF|=6，则|BF|=2或18．

Answer 1

分析 设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l．如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．过点B作BC⊥AM交于点C．由抛物线的定义可得：|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．由于AM∥x轴，∠BAC=∠AFx=60°．在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|．化简即可得出．

解答 解：设抛物线y²=2px（p＞0）的准线为l：x=-$\frac{p}{2}$．
如图所示，分别过点A，B作AM⊥l，BN⊥l，垂足为M，N．
过点B作BC⊥AM交于点C．
则|AM|=|AF|，|BN|=|BF|．
∵AM∥x轴，
∴∠BAC=∠AFx=60°．
在Rt△ABC中，|AC|=$\frac{1}{2}$|AB|
又|AM|-|BN|=|AC|，
∴|AF|-|BF|=$\frac{1}{2}$（|AF|+|BF|），
化为|AF|=3|BF|
∵|AF|=6，
∴|BF|=2．
A，B交换，可得|BF|=18．
故答案为：2或18．

点评 本题考查了抛物线的定义、含60°角的直角三角形的性质、平行线的性质，考查了辅助线的作法，属于中档题．