Question

某食品厂定期购买面粉．已知该厂每天需用面粉6 t，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购面粉每次需支付运费900元．
（1）求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
（2）若提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210 t时，其价格可享受9折优惠（即原价的90%），问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）每天所支付的费用是每x天购买粉的费用与保存面粉的费用及每次支付运费和的平均数，故可以设x天购买一次面粉，将平均数表示成x的函数，根据所得的函数的具体形式求其最小值即可．
（2）每天费用计算的方式与（1）相同，故设隔x天购买一次面粉，将每天的费用表示成x的函数，由于此时等号成立的条件不具备，故本题最值需要通过函数的单调性来探究．本题中函数的单调性的证明用定义法证明，获知其单调性后利用单调性求出最小值，然后用函数的最小值与（1）中的最小值对比，若比其小，则可利用此优惠条件，否则仍采用原来方案．

解答：解：（1）设该厂应每x天购买一次面粉，其购买量为6xt，由题意知，面粉的保管等其他费用为3[6x+6（x-1）+…+6×2+6×1]=9x（x+1）．
设平均每天所支付的总费用为y₁元，则y₁=

1

x

[9x（x+1）+900]+6×1800
=

900

x

+9x+10809≥2

900 x •9x

+10809
=10989．
当且仅当9x=

900

x

，即x=10时取等号，
即该厂应每10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
（2）若厂家利用此优惠条件，则至少每隔35天，购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y₂元，则
y₂=

1

x

[9x（x+1）+900]+6×1800×0.90
=

900

x

+9x+9729（x≥35）．
令f（x）=x+

100

x

（x≥35），
x₂＞x₁≥35，则
f（x₁）-f（x₂）=（x₁+

100

x1

）-（x₂+

100

x2

）
=

(x2-x1)(100-x1x2)

x1x2

∵x₂＞x₁≥35，
∴x₂-x₁＞0，x₁x₂＞0，100-x₁x₂＜0．
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，f（x₁）＜f（x₂），
即f（x）=x+

100

x

，当x≥35时为增函数．
∴当x=35时，f（x）有最小值，此时y₂＜10989．∴该厂应该接受此优惠条件．

点评：本题考点是函数模型的选择与应用，考查根据实际问题选择函数模型的能力，以及根据具体的函数模型求最值，利用计算出的数据指导解决实际问题，此类问题的一般步骤是：先依据实际问题建立函数模型，再依据相关函数模型进行代数计算，得出运算结果，最后将运算结果应用到实际问题中去．本题在求解函数的最值时在（1）中用的是基本不等式求最值，在（2）中用的函数的单调性定义证明函数单调性，利用单调性求最值．在求解最值时要根据函数具体的形式选择求最值的方法．