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已知离心率为的双曲线C的中心在坐标原点,左、右焦点F1、F2在x轴上,双曲线C的右支上一点A使且△F1AF2的面积为1.
(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D.求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标.
【答案】分析:(1)由题意设双曲线的标准方程为,由已知得:,解得a=2b.由且△F1AF2的面积为1,知(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2,由此能求出双曲线C的方程.
(2)△=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0,,由以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0),知Rt△PAE即,由此入手能够导出直线过定点(,0).
解答:解:(1)由题意设双曲线的标准方程为
由已知得:解得a=2b,
且△F1AF2的面积为1,
,,|F1A|2+|F2A|2=|F1F2|2
∴(|F1A|-|F2A|)2=4c2-4=4a2
∴b=1,a=2,
∴双曲线C的保准方程为
(2)设E(x1,y1),F(x2,y2) 联立y=kx+m与双曲线
x2
4
-y2=1
得(4k2-1)x2+8kmx+4(m2+1)=0
△=(8km)2-4(4m2+4)(4k2-1)>0
即4k2-m2-1<0

又∴
∵以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D(2,0)
∴Rt△PAE即

,且均满足
∵AC1⊥EG,∴
时,直线的方程为
直线过定点(2,0),与已知矛盾!
时,
直线的方程为θ,直线过定点(,0)
∴直线l定点,定点坐标为(,0).
点评:本题考查双曲线的方程的求法和求证直线l过定点,并求出该定点的坐标.解题时要认真审题,注意挖掘题设中的隐含条件,合理地进行等价转化.
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(1)求双曲线C的标准方程;
(2)若直线l:y=kx+m与双曲线C相交于E、F两点(E、F不是左右顶点),且以EF为直径的圆过双曲线C的右顶点D,求证:直线l过定点,并求出该定点的坐标。

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