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4.已知函数f(x)=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$,其中x∈[1,+∞).
(1)判断f(x)的单调性并证明;
(2)求f(x)的最小值.

分析 (1)可判断f(x)在[1,+∞)上是增函数,利用导数证明即可.
(2)由f(x)在[1,+∞)上是增函数知在x=1处有最小值.

解答 解:(1)f(x)=$\frac{{x}^{2}+2x+1}{x}$=x+$\frac{1}{x}$+2,
故f(x)在[1,+∞)上是增函数,证明如下,
∵f(x)=x+$\frac{1}{x}$+2,
∴f′(x)=1-$\frac{1}{{x}^{2}}$≥0,
故f(x)在[1,+∞)上是增函数;
(2)∵f(x)在[1,+∞)上是增函数,
∴fmin(x)=f(1)=1=1+2=4.

点评 本题考查了函数的单调性的判断与应用,同时考查了导数的应用.

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