Question

19．如图，已知正四棱锥V-ABCD中，AC与BD交于点M，VM是棱锥的高，若AC=2$\sqrt{2}$，VC=$\sqrt{3}$．
（1）求正四棱锥V-ABCD的体积．
（2）求正四棱锥V-ABCD的表面积．

Answer 1

分析 （1）分别求正四棱锥棱锥的底面积和高即可求体积．
（2）求出斜高，即可求正四棱锥V-ABCD的表面积．

解答 解：（1）∵正四棱锥V-ABCD中，底面ABCD是正方形，且对角线AC=2$\sqrt{2}$，VC=$\sqrt{3}$，VM是棱锥的高
∴AB=2，VM=1
∴正四棱锥V-ABCD的体积为V=$\frac{1}{3}$×S_ABCD×VM=$\frac{1}{3}$×2×2×1=$\frac{4}{3}$；
（2）斜高=$\sqrt{1+1}$=$\sqrt{2}$，
∴正四棱锥V-ABCD的表面积2×2+$4×\frac{1}{2}×2×\sqrt{2}$=4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查求正四棱锥V-ABCD的表面积、体积．关键是求底面积和高，属于中档题．