Question

设等边三角形ABC的边长为4

3

，其重心（中线交点）为I，若点P满足|PI|=1，则△APB与△APC的面积之比的最大值为（　　）

• A、

  5+ 3

  2

• B、

  3+ 5

  2

• C、

  5- 3

  2

• D、

  3- 5

  2

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：三角函数的求值

分析：根据三角形的面积公式判断出两个面积的比值最大时，角∠BAP应达到最大，根据图象确定此时点P的位置，再由条件列出角之间的关系，表示出两个三角形的面积的比值的表达式，由角大小关系列出面积比值的不等式：

S△APB

S△APC

≤

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

，再根据三角形有关的数据求出角的三角函数值，利用两角和差的正弦公式求出

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

的值即可．

解答： 解：由|PI|=1知，点P在以I为圆心的单位圆上，
设∠BAP=α，假设点P使α达到最大值β，此时点P应落在∠IAP内，
且此时AP应与单位圆I相切，
因为△ABC是等边三角形，所以0＜α≤β＜

π

3

，
令∠IAP=θ，则θ=β-

π

6

，所以β=

π

6

+θ，
则

S△APB

S△APC

=

1 2 •AP•AB•sinα

1 2 •AP•AC•sin( π 3 -α)

=

sinα

sin( π 3 -α)

≤

sinβ

sin( π 3 -β)

=

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

，①
因为等边三角形ABC的边长为4

3

，其重心（中线交点）为I，所以AI=4，
由∠API=90°得，sinθ=

IP

AI

=

1

4

，则cosθ=

1-sin2θ

=

15

4

，即tanθ=

15

15

，
所以

sin( π 6 +θ)

sin( π 6 -β)

=

1 2 cosθ+ 3 2 sinθ

1 2 cosθ- 3 2 sinθ

=

1 2 + 3 2 tanθ

1 2 - 3 2 tanθ

=

1+ 3 × 15 15

1- 3 × 15 15

=

15 + 3

15 - 3

=

3+ 5

2

，②
由①②知，当AP与单位圆I相切时，

S△APB

S△APC

的值达到最大，最大值为：

3+ 5

2

，
故选：B．

点评：本题以等边三角形为载体考查了最值问题，平面几何的知识，以及两角和差的正弦公式，关键是利用三角形的面积公式，判断出两个面积的比值最大时对应的条件，难度较大，考查分析问题、解决问题的能力，需要较强的逻辑分析能力．