Question

设函数f(x)=ex-

k

2

x2-x．
（1）若k=0，求f（x）的最小值；
（2）若当x≥0时f（x）≥1，求实数k的取值范围．

Answer 1

（1）k=0时，f（x）=e^x-x，
f'（x）=e^x-1．
当x∈（-∞，0）时，f'（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，f'（x）＞0．
所以f（x）在（-∞，0）上单调减小，在（0，+∞）上单调增加
故f（x）的最小值为f（0）=1
（2）f'（x）=e^x-kx-1，
f''（x）=e^x-k
当k≤1时，f''（x）≥0（x≥0），
所以f'（x）在[0，+∞）上递增，
而f'（0）=0，
所以f'（x）≥0（x≥0），
所以f（x）在[0，+∞）上递增，
而f（0）=1，
于是当x≥0时，f（x）≥1．
当k＞1时，
由f''（x）=0得x=lnk
当x∈（0，lnk）时，f''（x）＜0，所以f'（x）在（0，lnk）上递减，
而f'（0）=0，于是当x∈（0，lnk）时，f'（x）＜0，所以f（x）在（0，lnk）上递减，
而f（0）=1，所以当x∈（0，lnk）时，f（x）＜1．
综上得k的取值范围为（-∞，1]．