Question

已知双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左焦点为F（-3，0），过点F的直线与E相交于A，B两点，若线段AB的中点为N（12，15），则E的方程为（　　）

• A、

  x2

  3

  -

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  4

  -

  y2

  5

  =1
• C、

  x2

  5

  -

  y2

  4

  =1
• D、

  x2

  6

  -

  y2

  3

  =1

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：由已知条件求出直线AB：y=x+3，

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+3

，得（b²-a²）x²-6a²x-9a²-a²b²=0，由x_A+x_B=

6a2

b2-a2

=24，得到5a²=4b²，由此能求出双曲线方程．

解答： 解：∵双曲线E：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a，b＞0）的左焦点为F（-3，0），
过点F的直线与E相交于A，B两点，线段AB的中点为N（12，15），
∴直线AB：

y

x+3

=

15

12+3

，整理，得：y=x+3，

x2 a2 - y2 b2 =1 y=x+3

，消去y，并整理，得（b²-a²）x²-6a²x-9a²-a²b²=0，
∴x_A+x_B=

6a2

b2-a2

=24，
解得5a²=4b²，
∵左焦点为F（-3，0），∴c=3，
∵c²=a²+b²，∴a²=4，b²=5，
∴双曲线方程为

x2

4

-

y2

5

=1．
故选：B．

点评：本题考查双曲线方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的简单性质．