Question

（2012•无为县模拟）若向量

m

=(sinωx，

3

sinωx)，

n

=（cosωx，sinωx）（ω＞0），在函数f（x）=

m

•

n

+t的图象中，对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

，且当x∈[0，

π

3

]时，f（x）的最大值为

3

．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调递增区间．

Answer 1

分析：先根据向量的数量积的坐标表示及二倍角公式、辅助角公式对已知函数解析式进行化简
（1）由对称中心到对称轴的最小距离可得函数的最小周期T，然后结合周期公式可求ω，结合正弦函数的性质可求函数的最大值，结合已知即可求解t
（2）由2kπ-

1

2

π≤2x-

1

3

π≤2kπ+

1

2

π，解不等式即可求解

解答：解：由题意可得，f（x）=

m

•

n

+t=siωxcosωx+

3

sin2ωx+t
=

1

2

sin2ωx-

3

2

cos2ωx+t
=sin（2ωx-

1

3

π）+t+

3

2

（1）由对称中心到对称轴的最小距离为

π

4

可得函数的最小周期T=π
∴

2π

π

=2ω
∴ω=1，f（x）=sin（2x-

π

3

）+t+

3

2

当x∈[0，

1

3

π]时，2x-

π

3

∈[-

π

3

，

π

3

]，sin（2x-

π

3

）∈[-

3

2

，

3

2

]
∴f（x）∈[t，t+

3

]
∵函数的最大值为

3

∴

3

+t=

3

∴t=0
∴f(x)=sin(2x-

π

3

)+

3

2

（2）由2kπ-

1

2

π≤2x-

1

3

π≤2kπ+

1

2

π可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

所以函数f（x）的单调递增区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

](k∈Z)．…（12分）

点评：本题主要考查了由正弦函数的性质求解函数的解析式及结合正弦函数的性质求解函数的最值及单调区间，属于函数知识的综合应用