Question

3．如图，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是正方形，PA⊥底面ABCD，PA=AD，E、F分别是棱PD、BC的中点．
（1）求证：EF∥平面PAB；
（2）求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）取PA的中点G，连接BG，GE，证明四边形BFEG是平行四边形，即可证明EF∥平面PAB；
（2）以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，求出平面PAC的法向量，即可求直线PF与平面PAC所成角的正弦值．

解答 （1）证明：取PA的中点G，连接BG，GE，
∵E为PD的中点，
∴GE∥AD且$GE=\frac{1}{2}AD$
又底面ABCD是正方形，F为BC的中点，∴BF∥AD且$BF=\frac{1}{2}AD$，
∴GE∥BF且GE=BF，∴四边形BFEG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又EF?平面PAB，BG?平面PAB，∴EF∥平面PAB…（5分）
（2）解：以AB，AD，AP分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的平面直角坐标系，
设PA=AD=2，直线PF与平面PAC所成角为θ，
P（0，0，2），F（2，1，0），$\overrightarrow{PF}=（2，1，-2）$，A（0，0，0），C（2，2，0），$\overrightarrow{AP}=（0，0，2）$，$\overrightarrow{AC}=（2，2，0）$
设平面PAC的法向量$\overrightarrow n=（x，y，z）$，
则$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow n•\overrightarrow{AP}=2z=0\\ \overrightarrow n•\overrightarrow{AC}=2x+2y=0\end{array}\right.$，取$\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=-1\\ z=0\end{array}\right.$，$\overrightarrow n=（1，-1，0）$…（8分）
sinθ=|cos＜$\overrightarrow{PF}$，$\overrightarrow{n}$＞|=$\frac{{\sqrt{2}}}{6}$…（10分）

点评 本题考查线面平行的判定与性质，考查线面角，考查利用向量的方法解决立体几何问题，属于中档题．