Question

已知函数（其中为常数）.
(Ⅰ)当时，求函数的单调区间；
(Ⅱ) 当时，设函数的3个极值点为，且.
证明：.

Answer 1

(Ⅰ)单调减区间为,;增区间为.
(Ⅱ)利用导数研究得到，所以，
当时，，，
∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
当时，
通过构造函数，证得当时，.

试题分析：(Ⅰ)
令可得.列表如下:

	-	-	0	+
	减	减	极小值	增

单调减区间为,;增区间为.  5分
(Ⅱ)由题，
对于函数，有
∴函数在上单调递减，在上单调递增
∵函数有3个极值点，
从而，所以，
当时，，，
∴ 函数的递增区间有和，递减区间有，，，
此时，函数有3个极值点，且；
∴当时，是函数的两个零点，  9分
即有，消去有   
令，有零点，且
∴函数在上递减，在上递增
要证明   
 即证
构造函数，=0
只需要证明单调递减即可.而， 在上单调递增,
∴当时，. １４分
点评：典型题，本题属于导数应用中的基本问题，像涉及恒成立问题，往往通过研究函数的最值达到解题目的。证明不等式问题，往往通过构造新函数，研究其单调性及最值，而达到目的。本题（II）难度较大。