Question

11．己知函数f（x）=|sinx丨一kx（x≥0，k∈R）有且只有三个零点，设此三个零点中的最大值为x₀，则
$\frac{{x}_{0}}{（1+{{x}_{0}}^{2}）sin2{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 作函数y=|sinx|与y=kx的图象，从而可得x₀∈（π，2π），y₀=-sinx₀，y′=-cosx，从而可得x₀=$\frac{sin{x}_{0}}{cos{x}_{0}}$，从而化简即可．

解答 解：作函数y=|sinx|与y=kx的图象如下，

结合图象可知，x₀∈（π，2π），
此时，y₀=-sinx₀，y′=-cosx，
故$\frac{-sin{x}_{0}}{{x}_{0}}$=-cosx₀，故x₀=$\frac{sin{x}_{0}}{cos{x}_{0}}$，
故$\frac{{x}_{0}}{（1+{{x}_{0}}^{2}）sin2{x}_{0}}$=$\frac{\frac{sin{x}_{0}}{cos{x}_{0}}}{（1+\frac{{sin}^{2}{x}_{0}}{co{s}^{2}{x}_{0}}）sin2{x}_{0}}$
=$\frac{sin{x}_{0}cos{x}_{0}}{sin2{x}_{0}}$=$\frac{1}{2}$；
故答案为：$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用．